質問と回答 (採点対象)

質問 1. (採点結果: 1点)

微視状態の数え方について、ボース統計は（25）〜（27）式により３つの 微視状態があり、フェルミ統計は（23）式で１つ、ボルツマン統計は（23）、 （25）〜（27）式の４つを粒子数N＝２で割って２つとなるのはなんとなく 理解できたのですが、この後でボース統計、フェルミ統計、ボルツマン統計 の３つの微視状態がすべて１通りになったのが良く分かりませんでした。 これはどのような条件を使ったのですか？ また、３つの統計の微視状態がすべて１通りだと考えた場合、ボース統計と フェルミ統計の違いがなくなったりはしないのですか？

「この後」がどの部分か分かりませんが、もしかしたら、 同じ準位に2つ以上、粒子が入る場合を無視した時のことでしょうか。

同じ準位に2つ以上、 粒子が入る場合を無視した時は、3つの統計は同じになります。

フェルミ統計は、もともと同じ準位には入れないので同じですが、 ボース統計も、すべての粒子が違う準位に入るものだけをとれば、 当然、フェルミ統計と同じになります。 そして、その数は準位の数と粒子の数が等しい場合、1通りしかありません。 さらに、ボルツマン統計の場合は、同じ準位に入っているのを無視すれば、 粒子の番号の付け替えはN!だけあるので、 ちょうど他の2つの統計と同じになります。

また、このような場合には3つの統計の違いはまったくなくなります。 それは、何人かの人が質問してくれましたが、 準位の数に比べ粒子数が少ない時、同じ準位に 2つ以上の粒子が入る確率が低くなるので、3つの統計が同じになります。 そのような場合は、粒子の密度が小さい時で、そのことから、 粒子の密度が小さい時は、 3つの統計は同じになります。

3つのポイントのうち、フェルミ粒子とポース粒子の微視状態の数え方を 半分ぐらい理解していると考えて 1点を採点して、全部で2点ですが、 期限遅れたので、0.6倍して四捨五入の1点です。

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質問 2. (採点結果: 1点)

4月18日出題，4月25日提出の宿題について質問させていただきます．
e---イプシロン
b---ベータ
と読み替えてください．
またsummation 記号のシグマ等はtexの書式に沿って書いておきました．
この書き方に問題がある場合はpdfで送りなおします．

宿題
問1 (a) Fermi統計の場合
設問のとおり3準位系に3粒子がある場合
2e -----*------
e -----*------
0 -----*------
という状態しか考えることができないので， この系の総エネルギー3eなので Z=exp[-3be] です．

質問1
ここからが質問です． もしも3準位系に2粒子ならば
2e ----------- -----*----- -----*-----
e -----*----- ----------- -----*-----
0 -----*----- -----*----- -----*-----
e 2e 3e 系の総エネルギー
ですから Z=exp[-be]+exp[-2be]+exp[-3be] となりますか？

質問の図の 1番右は、0の準位には粒子は入っていないはずですが、 それを直せば後はまったく正しいです。

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質問2
また，もしエネルギー固有値eに縮退がある場合は
e ===*===*===
0 -----*-----
2e
となり， Z=exp[-2be] となりますか？ 授業中に先生が説明なさった Z=\sum_n \sigma_n exp[-b e_n] と 教科書p54式(4.7) Z=\sum_r exp[-b e_r] の違いはつまりこういうことなのですよね？

Zの計算は正しいです。 ただし、\sigma_n がある場合とない場合の問題は、 こういうこととは少し違います。 むしろ、3準位 3粒子系のボース統計で、2e のエネルギーが、 準位の数を指定する方法で、{1,2,0} と {2,0,1} の 2つある時が、 分かりやすいです。 つまり、r として{1,2,0} と {2,0,1} に別の番号を付ける時は、 \sigma_n は必要ありませんが、 n として同じ番号を付ける時は、\sigma_n=2 が必要です。

この方は、フェルミ粒子の微視状態の数え方を理解していると思えましたが、 やはり期限遅れでしたので、1点です。

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